Potensial Listrik

Pada mekanika telah diuraikan hukum kkekalan energi mekanik Total, EK + EP konstan, yang sangat berguna untuk penyelesaian soal-soal. Hukum tersebut berlaku dalam medan gaya konservatif seperti medan gaya gravitasi. Berhubung medan medan gaya coulomb dengan bentuk pernyataannya yang sama dengan medan gravitasi, sewajarnya kita mengharapkan sifat yang serup pula dari medan gaya coulomb (medan elektrostatik) tersebut. Memang dapat ditunjukkan bahwa medan elektrostatik adalah bersifat konservatif sehingga dapat pula kita defenisikan disini energi potensial listrik, dan berlaku pula hubungan EK + EP = Konstan.

Dalam mekanika telah ditunjukkan bahwa gaya gravitasi bersifat konservatif, yaitu kerja yang dilakukan medan gaya tidak bergantung kepada lintasannya. Jika suatu muatan q’ diletakkan dalam medan listrik, gaya listrik q’ adalah q’. Gaya ini adalah jumlah vektor dari gaya-gaya yang bekerja pada q’ oleh berbagai muatan yang menghasilkan kuat medan.Masing-masing gaya memenuhi Hukum Coulomb bersifat konservatif sehingga gaya q’ juga bersifat konservatif.

Kerja yang dilakukan oleh gaya listrik q’E pada muatan uji q’ untuk perpindahanyang sangat kecil ds adalah

Menurut defenisi, kerja yang dilakukan oleh gaya konservatif adalah negatif dari perubahan energi potensial(dU), sehingga:

Untuk suatu perpindahan muatan uji dari titik A ke B, potensialnya adalah:

dengan dU=beda energi yang dihasilkan UB=energi potensial pada posisi B (kedudukan akhir) UA = energi potensial pada posisi A(kedudukan awal) Misalkan ada (+q) di titik 0 dan muatan uji q’ di titik Q, gaya yang bekerja pada muatan uji adalah :

Untuk mencari beda energi potensial bila muatan q’ dipindahkan dari Q ke P adalah sebagai berikut :

atau secara umum, energi potensial medan listrik dari muatan (q) oleh muatan uji (q’) pada jarak r adalah :

Dalam membahas medan listrik , kita tidak menggunakan pengertian energi potensial tetapi menggunakan pengertian potensial listrik yaitu potensial persatuan muatan. Muatan listrik biasanya dituliskan sebagai :

Dan mempunyai satuan volt atau joule/coulomb. Beda potensial listrik juga dapat dituliskan dalam bentuk lain, yaitu :

atau dimana Dari dua persamaan di atas, maka dapat dilihat bahwa potensial listrik juga suatu medan listrik. Tetapi potensial listrik merupakan interaksi medan skalar dengan gaya Coulomb. Sekarang bagaimana menentukan potensial listrik bila diketahui medan listrik E(r). Untuk menghitung E( r ) dan V( r ) harus melakukan operasi diferensial. Oleh karena kuat medan adalah besaran vektor, operator diferensial harus operasi vektor, operasi ini disebut gradien yang dinyatakan sebagai ?. Sehingga kuat medan E( r ) dapat ditulis sebagai :

Dimana dapat dinyatakan dalam berbagai koordinat : Kartesian

 

Potensial Listrik berbagai Distribusi Muatan

a. Pelat Bermuatan

Tinjau pelat tipis bermuatan dengan rapat massa serba sama, yaitu +. Dengan hukum Gauss, diperoleh kuat medan E konstan dengan harga :

Dari grafik potensial dapat digambarkan sebagai berikut :

b. Bola bermuatan

Misalkan ditinjau bola logam dengan jari-jari R diberi muatan (+Q) yang tersebar merata pada permukaan. Kuat medan listrik pada bola adalah, E(r)=0, untuk r

Contoh :

1. Pada konfoigurasi muatan berikut ini q₁=10^-7C, q₂=2 q₁, q₃=-4 q₁ dan d = 10 cm.

Hitunglah:

a. Energi potensial listrik antara masing-masing pasangan muatan dan, b. Energi potensial listrik konfigurasi tersebut.

Penyelesaian :

2. Suatu muatan titik 5 C diletakkan di pusat koordinat, dan muatan titik sebesar -2C diletakkan pada posisi (3,0) meter (lihat gambar a). jika titik yang sangat jauh dipilih sebagai acuan nol potensial listrik, hitunglah : a. Potensial listrik total di titik P(0,4) meter b. Kerja yang diperlukan untuk membawa muatan ketiga sebesar 4 C dari tempat yang sangat jauh dari titik P. c. Energi potensial sistem ketiga muatan seperti pada gambar (b) di bawah ini :

Penyelesaian :

a. Potensial listrik total di titik P yang dihasilkan oleh dua muatan titik adalah :

3. Dua buah bola kondukter dipasang sepusat. Bola diberi muatan qA dan bola B diberi muatan qB. Bola A mempunyai jari-jari RA dan bola B dengan jari-jari RB dan RA

Penyelesaian :

Hukum Gauss

Michael Faraday memperkenalkan cara menggambarkan medan (listrik, magnet, maupun gravitasi) melalui konsep garis gaya (garis medan). Garis gaya adalah garis-garis lengkung dalam medan yang dapat menunjukkan arah serta besarnya E pada setiap titik masing-masing dengan garis singgung dan kerapatan garisnya pada titik yang bersangkutan

Garis-garis gaya berawal pada titik muatan positif dan berakhir pada titik muatan negatif. Diantara titik awal dan titik akhir, garis gaya selalu kontinu dan tidak mungkin berpotongan, kecuali pada titik muatan lain yang terdapat diantaranya

Jumlah garis-garis gaya listrik yang menembus suatu permukaan secara tegak lurus didefenisikan sebagai fluks magnetic . Bila diketahui kuat medan E, maka jumlah garis gaya d yang menembus suatu elemen dA tegak lurus pada E adalah :

Bila permukaan dA tidak tegak lurus maka jumlah garis yang keluar dari dA haruslah

Dimana dA = ndA atau n adalah vektor normal dan sudut antara dA dengan bidang yang tegak lurus pada E. Bila kuat medan pada elemen seluas dA dan E, maka jumlah garis gaya yang keluar dari seluruh permukaan S adalah :

Elemen luas dA berada pada permukaan S harga medan ;listrik E diambil semua titik pada permukaan S.

Fluks listrik total untuk seluruh permukaan

Tanda menyatakan integrasi yang meliputi seluruh permukaan A. Untuk permukaan tertutup, elemen dA tegak lurus permukaan dan arahnya keluar. Fluks total untuk permukaan tertutup

Ternyata ada hubungan yang erat antara fluks listrik pada suatu permukaan tertutup dengan muatan listrik yang berada dalam permukaan tersebut dan hubungan ini dikenal dengan hukum Gauss, yaitu”jumlah garis gaya yang keluar dari suatu permukaan tertutup sebanding dengan jumlah muatan listrik yang dilingkupi oleh permukaan tetutup tersebut. Secara matematis

Dimana S adalah suatu permukaan tertutup q_i adalah jumlah muatan yang ada di dalam atau dilingkupi oleh permukaan tetutup S. jadi dengan hukum gauss kita dapat menentukan muatan yang ada di dalam permukaan tetutup, bila kita tahu berapa garis gaya yang keluar dari permukaan tetutup tersebut.

Contoh 4.

Di dalam ruang seperti pada gambar di atas terdapat medan listrik serba sama sebesar 10N/C berarah sumbu z kebawah. Hitung jumlah garis gaya yang keluar dari

a. Luas OABC (luas OABC = 2 m²)

b. Luas OFDC (luas OFDC = 2 m²)

Penyelesaian

a. Kuat medan listrik secara vector adalah 

E = -k 10 N/C Banyaknya garis gaya

Atau garis gaya banyaknya 20 buah dan arahnya menembus bidang OABC. Arah dA ada pada sumbu z positif sehingga d = dA

b. pada bidang ini dA = -jdA sehingga

Jadi banyaknya garis gaya = 0, berarti tidak ada garis gaya yang menembus bidang OFDC

Pemakaian Hukum Gauss

a. Distribusi muatan dalam konduktor

Di dalam konduktor dapat dialirkan arus listrik sebab elektron pada konduktor dapat bergerak bebas. Berbeda dengan isolator, semua elektron terikat pada masing-masing atom sehingga bila ada medan listrik, elektron tetap tidak bergerak, akibatnya tidak ada arus yang mengalir. Bila pada konduktor diberi muatan, maka akan tejadi perubahan distribusi elektron bebas. Setelah semua elektron menempati posisinya, medan listrik dalam logam harus sama dengan nol, sebab bila tidak maka elektron bebas akan bergerak dalam logam. Bila terus diberikan (melampaui keadaan setimbang), muatan ada pada permukaan logam . jika dipilih sebuah permukaan S tepat di bawah, maka menurut hukum Gauss muatan pada permukaan itu harus nol sebab medan listrik pada permukaan logam harus nol, atau:

b. Pelat Tipis Bermuatan

Bila kita mempunyai selembar pelat tipis dengan luas yang cukup besar diberi muatan +Q yang tersebar secara homogen pada pelat tersebut. Untuk menghitung kuat medan E pada jarak r, maka kita harus membuat permukaan gauss Dari gambar dapat ditarik beberapa kesimpulan sebagai berikut * Karena pelat luas dan muatan tersebar homogen, maka medan listrik harus serba sama dan tegak lurus pada pelat.
* Karena garis gaya untuk sejajar dan mempunyai kerapatan sama maka kuat medan yang dihasilkan disetiap tempat juga sama, baik besar maupun arahnya.
Untuk menghitung kuat medan listrik, maka dibut sebuah permukaan Gauss. Bentuk permukaan Gauss dipilih dengan tujuan untuk mempermudah persoalan. Jika dipilih permukaan Gauss yang berbentuk silinder dengan panjang 2r dan penampangnya berbentuk lingkaran. Permukaan tersebut dibagi tiga bagian * Tutup kanan S1 berbentuk lingkran
* Selubung silinder S2 berbentuk persegi empat * Tutup kiri S3 juga berbentuk silinder
Misalkan luas penampang silinder adalah A, maka rapat muatan = Q/A. karena muatan tersebut secara homogen , muatan yang terkandung dalam permukaan gauss S adalah Q₂ =A. Hukum Gauss dengan Qs sebagai muatan yang terkandung dalam S. Selanjutnya integral tertutup dapat diuraikan menjadi : suku pertama bagian kanan persamaan dengan elemen luas dA diambil pada S₁ sehingga dA=idA dengan i sebagai vector satuan pada sumbu x positif. Sedangkan kuat medan E=+iE jadi :
Suku kedua pada bagian kanan persamaan sama dengan 0 sebab dA pada S₂ berarah tegak lurus E . Pad suku ketiga, elemen luas dA pada S₃ berarah ke kiri, jadi dA=-idA dan kuat medan listrik pada S₃ juga berarah ke kiri, yaitu E=-iE: jadi :
Akibatnya menjadi :

c. Bola Bermuatan

Misalkan diambil sebuah bola terbuat dari bahan isolator dengan jari-jari R. Bola ini mempunyai muatan yang tersebar merata di dalam bola isolator tersebut. Kemudian , bagaimana menghitung kuat medan listrik di dalam dan diluar bola. Karena muatan tersebut merata dalam bola, rapat muatan dalam bola adalah : Kita buat permukaan gauss berupa bola dengan jejari r. Hukum Gauss menyatakan Dimana Q adalah muatan listrik yang dilingkupi oleh S1 dalam hal ini : Pada permukaan Gauss,dA=rdA, sehingga E=rE, karena baik medan listrik maupun elemen luasan , keduanya dalam arah radial. Harga E tak bergantung pada arah , jadi juga tak bergantung pada dA. Dengan demikian integral permukaan pada Gauss dapat ditulis sebagai : dari hukum Gauss diperoleh : Untuk medan diluar bola , kita pandang titik Q di luar bola dan berjarak r dari pusat bola . Kuat medan pada titik Q dapat dihitung dengan membuat permukaan Gauss melalui titik Q dan menggunakan hukum Gauss. Permukaan Gauss S dibuat membentuk bola dengan jari-jari r.Hukum Gauss menyatakan Muatan Q yang dilingkupi S sama dengan muatan tota; Q pada bola, Q = Q pada permukaan S, E sejajar dA, kuat medan E isotropic yang mempunyai besar sama pada semua titik di permukaan S. Hukum Gauss menjadi : Persamaan diatas menyatakan bahwa kuat medan diluar bola sama dengan medan yang dihasilkan bila seluruh muatan Q terletak di pusat bola.